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www.hundert-prozent.net - Tutorials---Informatik-Dreiwertige Logik

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Dreiwertige Logik

Die Dreiwertige Logik(auch tenäre Logik) ist eine Logik, welche zu den mehrwertigen Logiken zählt.
Im Gegensatz zu der klassischen, zweiertigen, Logik, hat die dreiwertige Logik nicht nur zwei sondern drei Wahrheitswerte.
Zwei der Wahrheitswerte von der dreiwertigen Logik werden genauso wie in der klassischen Logik dagestellt. Der dritte Wahrheitswert kann als "u" oder ½ dagestellt werden.
Daher, die möglichen Wahrheitswerte sind {f, w, u} bzw. {0, 1, ½}.
Der dritte Wahrheitswert hat die Bedeutung von "unbestimmt", "unbekannt" oder "weder wahr noch falsch".
Da es in der dreiwertigen Logik drei Wahrheitswerte gibt, gibt es auch Rechenregeln für diese.
Ein paar der bekanntesten Rechenregeln für die dreiwertige Logik sind Bo?var(B3) von 1938, ?ukasiewicz(?3) von 1920 und Gödel(G3) von 1932.
Dabei steht die "3" für die dreiwertige Logik.

Lukasiewicz 3

Negation

In L3 unterscheidet man zwischen der schwachen(~) und der starken Negation(¬).
Dies hat durch Folge, das es auch eine schwache und starke Implikation(Subjunktion) gibt.
P ~P ¬P
0 1 1
½ 1 ½
1 0 0
An der Wahrheitstabelle sieht man, dass das Doppelnegationsgesetz(siehe Boolesche Algebra) nur bei der starken Negation gilt.

Konjunktion

Die Konjunktion(und) kann man sich dadurch merken, das immer die kleinste Zahl genommen(0; ½=0,5; 1) wird.
P Q P∧Q
0 0 0
0 ½ ½
0 1 0
½ 0 0
½ ½ ½
½ 1 ½
1 0 0
1 ½ ½
1 1 1
Man kann an der Wahrheitstabelle sehen, dass die Neutralitätsgesetze, die Extremalgesetze und die Idempotenzgesetze auch hier gilt.

Disjunktion

Die Disjunktion(oder) kann man sich dadurch merken, das immer die höchste Zahl genommen(0; ½=0,5; 1) wird.
P Q P∨Q
0 0 0
0 ½ ½
0 1 1
½ 0 ½
½ ½ ½
½ 1 1
1 0 1
1 ½ 1
1 1 1
Man sieht an der Wahrheitstabelle, dass die Neutralitätsgesetze, die Extremalgesetze und das die Idempotenzgesetze auch hier gilt.

Implikation

Bei der starken Implikation(Subjunktion, ⇒) gilt die Regel ¬P∨Q, entsprechend bei der schwachen Implikation(→) gilt ~P∨Q.
Dabei besteht bei der starken Implikation eine Ausnahme: Wenn P=½ und Q=½ dann ist das Ergebnis auch 1.
Dies ist ein Ausnahme, da es sich mit der Regel wiederspricht. Bei Anwendung der Regel kommt ½ raus.
P Q P⇒Q P→Q
0 0 1 1
0 ½ 1 1
0 1 1 1
½ 0 ½ 1
½ ½ 1 1
½ 1 1 1
1 0 0 0
1 ½ ½ ½
1 1 1 1

Andere Gesetze

Andere Gesetze wie die De Morgansche Gesetze, die Absorptionsgesetze, die Distributivgesetze, die Assoziativgesetze und die Kommutativgesetze gelten auch bei L3.
Andere Gesetze wie die Dualitätsgesetze und die Komplementärgesetze sind nur schwer auf die dreiwertige Logik anwendbar.
Mit der Defination von der Seite Boolesche Algebra stimmen die Dualitätsgesetze auch.
Mit der Defination von der oberrigen Seite stimmen die Komplementärgesetze nicht.
Dies ist z. B. mit einer Wahrheitstabellen beweisbar.


Kleiner Tipp

Es ist sehr Müsehlich Wahrheitstabellen mit der Hand zu erstellen.
Ich empfehle(aus eigener Erfahrung) die App Wahrheitstabellen.
Die App unterstützt auch dreiwertige, vierwertige und sogar fünfwertige Logiken.
Im Internet empfehle ich die Website wahrheitstabelle.daug.de.
Die Website unterstützt leider keine mehrwerigen Logiken, ist aber wenn man Wahrheitstabellen mit der klassischen Logik erstellen möchte sehr gut.